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小明砸乱弹琴

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【转】FFT运算的用途  

2012-10-16 21:28:28|  分类: DSP技术 |  标签: |举报 |字号 订阅

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      前几天一个大三的问我FFT怎么去分析音频信号,虽然以前写过FFT的运算程序,但是并不知道具体是怎么用的,我上网找了很多资料,也没有写它的用法,看《数字信号处理的书》太厚,实在看不下去,后来他传给我一点资料,看了下,感觉很好,现在分享给对此有兴趣的同学~~

FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。

    虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT

    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就不在此罗嗦了。

    采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N2的整数次方。

    假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是AN/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果采样频率Fs1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N
    由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,即小于采样频率一半的结果。

    好了,说了半天,看着公式也晕,下面圈圈以一个实际的信号来做说明。

    假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz 相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下:

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

    式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号3个频率:0Hz50Hz75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

    从图中我们可以看到,在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看:
1点: 512+0i
2点: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3点: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51
点:332.55 - 192i
52
点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点:3.4315E-12 + 192i
77点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i
  
   
很明显,1点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值
都很小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,结果如下:
1点: 512
51
点:384
76
点:192
   
按照公式,可以计算出直流分量为:512/N=512/256=2
50Hz信号的幅度为:384/(N/2)=384/(256/2)=375Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见,从频谱分析出来的幅度是正确的。
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度,换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再 计算75Hz信号的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度, 换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。 根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达
式了,它就是我们开始提供的信号。

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