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二阶滤波器响应  

2014-05-17 10:11:00|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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二阶滤波器的重要性不仅仅是在于他们本身,而且还在于他们是构造高阶滤波器的重要组成部分,因此本篇博文主要学习关于二阶滤波器的理论及其响应的特性。
对于二阶滤波器都可以表示成如下的标准形式,这个标准形式对于下面讨论二阶滤波器的响应是很有理解作用的,其中式中 ω0 为无阻尼自然频率,N(s)为一个m≤2的多项式。以后我们会看到N(s)多项式的结构影响着滤波器的是低通、高通、带通还是带阻,而分母中的 阻尼系数ξ影响着转折频率附近的幅频特性,ω0 决定了通带和截止带的范围。

二阶滤波器响应 - 苏之淼 - 网易博客
H(s)的分母函数有两个极点可以计算出来为
二阶滤波器响应 - 苏之淼 - 网易博客
关于ξ的函数,根轨迹如下图所示,其中有下面的四种情况

1.当ξ>1,极点为实数并且为负数,自然响应是由两个衰减的指数项组成,这别称作为过阻尼。

2.当0<</span>ξ<1,极点为一对共轭复根,可以表示为p1,2=-ξω0±jω0sqr(1-ξ^2),这些极点都位于左半平面,此时称为欠阻尼,欠阻尼状态也是二阶滤波器中经常要保证的状态。

3.当ξ=0,p1,2=±jω0这表明这两个极点恰好都在虚轴上,自然响应式一个恒定不变的未受衰减的正弦信号,他的频率为ω0这也是ω0名称的由来。

4.当ξ<0,极点位于右半平面,响应为发散的,因此滤波器为了保持稳定必须有ξ>0.



二阶滤波器响应 - 苏之淼 - 网易博客

s→jω0可以得到如下的频率响应,其中的Q值将会在滤波器的特性中起到关键性的作用。

二阶滤波器响应 - 苏之淼 - 网易博客

二阶响应,可以高频渐进线的陡峭程度增加了两倍斜率,还能对w/w0=1附近频域的幅度形状调节增加了自由度,在实际应用中,Q值的范围为0.5~100,对于不同的Q值幅度如下图所示,对于低Q值而言,从一条渐近线到另一条的过度时平缓的,对于高Q值,在w/w0=1的附近频带内有|Hlp|>1,这种现象称为峰化。可以证明,在出现峰化之前,Q的最大值是Q=0.707.他响应曲线称为最大平伏或者称为巴特沃兹响应,在巴特沃兹响应中w0的意义与一阶响应情况一致,都代表了-3dB频率,也称作截止频率。
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N(s)对于滤波器的影响是滤波器的性质,下面的几个式子分别为几种不同特性的滤波器的表达式

低通滤波器
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高通滤波器

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带通滤波器
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带阻滤波器
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全通滤波器
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